Сложение корней с разными показателями


Уравнение с одной переменной называют иррациональным, если хотя бы одна из функций или содержит переменную под знаком радикала. При решении иррациональных уравнений необходимо установить область допустимых значений переменных, исходя из условия, что все радикалы, входящие в уравнение, должны быть арифметическими. Наличие радикалов четной степени говорит о том, что подкоренные выражения должны быть неотрицательными. Поэтому сначала найдем область допустимых значение переменной. Очевидно, что левая часть уравнения не существует ни при одном значении неизвестного. Таким образом, вопрос о решении уравнения снимается — ведь нельзя же осуществить операцию сложения в левой части уравнения, так как не существует сама сумма. Уравнение не может иметь решений, так как левая часть не существует ни при одном значении неизвестного. Найдем область определения данной функции: Данная функция является монотонно возрастающей. Для эта функция будет принимать наименьшее значение приа далее только возрастать. Число 5 принадлежит области значения, следовательно, согласно утверждению. Проверкой убеждаемся, что это действительный корень уравнения. Метод возведения обеих частей уравнений в одну и ту же степень. Если возвести обе части уравнения 1 в натуральную степеньто уравнение 2 является следствием уравнения 1. Если выполняется числовое равенството по свойствам степени выполняется равенствот. Еслито справедливо и обратная теорема. В этом случае уравнения 1 и 2 равносильны. Еслиравенство справедливо, если выполняется хотя бы одно из равенств. Значит уравнения 1 и 2 в этом случае не равносильны. Поэтому, если в ходе решения иррационального уравнения приходилось возводить обе его части в степень с четным показателем, то могли появиться посторонние корни. Чтобы отделить их, проверки можно избежать, введя дополнительное требование. В этом случае уравнение равносильно системе. В системе отсутствует требованиеобеспечивающее существование корня степенит. Ответ: Если в уравнение входят несколько радикалов, то их можно последовательно исключать с помощью возведения в квадрат, получая в итоге уравнение вида При этом полезно учитывать область допустимых значений исходного уравнения. Решение уравнений с использованием замены переменной. Введение вспомогательной переменной в ряде случаев приводит к упрощению уравнения. Чаще всего в качестве новой переменной используют входящий в уравнение радикал. При этом уравнение становится рациональным относительно новой переменной. Пусть тогда исходное уравнение примет вид:корни которого и Решая уравнениеполучаем и Ответ: В следующих примерах используется более сложная замена переменной. Пример 2 Перенесем в левую часть все члены уравнения и произведем дополнительные преобразования:. Замена приводит уравнение к виду корнями которого являются и Осталось решить совокупность двух уравнений: Ответ: 4. Метод разложения на множители выражений, входящих в уравнение. Уравнениеопределенное на всей числовой оси, равносильно совокупности уравнений Пример1. При уравнение принимает вид: которое равносильно совокупности двух уравнений: Ответ: Выделить общий множитель часто бывает очень трудно. Иногда это удается сделать после дополнительных преобразований. В приведенном ниже примере для этого рассматриваются попарные разности подкоренных выражений. Если внимательно посмотреть на уравнение, то можно увидеть, что разности подкоренных выражений первого и третьегоа также второго и четвертого членов этого уравнения равны одной и той же величине В таком случае далее следует воспользоваться тождеством: Уравнение примет вид: или Корень уравнения т. Уравнение не имеет решений, так как его левая часть положительна в своей области определения. Метод выделения полных квадратов при решении иррациональных уравнений. При решении некоторых иррациональных уравнений полезна формула Пример 1. Преобразуем уравнение следующим образом : или Обозначим и решим полученное уравнение методом интервалов. Разбирая отдельно случаинаходим, что решениями последнего уравнения являются. Возвращаясь к переменнойполучаем неравенства Ответ: 6. Этот способ применим в том случае, когда подкоренные выражения представляют собой квадратный трехчлен, не раскладывающийся на линейные множители. Поэтому целесообразно оценить левую и правую части уравнения. Оценим обе части уравнения:, Левая часть уравнения существует при всех значениях переменнойне меньших 5, а правая — при всех значениях, не больших 5, следовательно, уравнение будет иметь решение, если обе части уравнения одновременно равны 5, т. Для всех имеем Используя неравенство Коши, можем записать: причем равенство достигается при и Таким образом, -корень исходного уравнения. Иррациональные уравнения, содержащие степени выше второй. Если уравнение имеет вид то его можно решитьвозводя обе части этого уравнения в степень. Полученное уравнение при нечетном равносильно данному уравнению, а при четном является нго следствием, аналогично рассмотренному выше случаю при Пример 1 Возведем обе части уравнения в куб: или которое равносильно совокупности двух уравнений: Ответ: При решении иррациональных уравнений очень часто пользуются следующим приемом. Если то В последнем равенстве заменяют на и получают Далее легко избавиться от кубической иррациональностивозводя обе части в куб. Здесь, очевидно, Возведем в куб обе части уравнения, получим:или или или или Проверка подтверждает, что это корень уравнения. Замена в конкретном примере левой части на правую, вообще говорянеправомерна —ведь нам неизвестно ни одно значениепри котором это уравнение превращается в верное числовое равенство. Возможно, таких решений нет. Допуская в практических действиях такую замену, мы фактически расширяем возможное множество решений. Поэтому все найденные решения следует проверять и только те, которые превращают исходное уравнение в верное равенство, следует записать в ответ. От того, что школьник решит лишний десяток задач, умнее и сообразительнее он не станет, Результат обучения оценивается не количеством сообщаемой информации, а качеством ее усвоения. Это качество будет выше, если на один и тот же пример посмотреть с разных сторон. Решение задач разными способами способствует развитию активного мышления учащихся. Хорошую почву для этого дает решение примеров разными способами. Иногда полезно ввести не одну вспомогательную переменную, а несколько, сводя исходное уравнение к системе уравнений. Пусть Тогда Таким образом справедлива следующая система: Возвращаясь к переменной находим Ответ: В следующем примере введение вспомогательной переменной сводит исходное уравнение к однородному. Положим Тогда исходное уравнение примет вид: Поскольку при котором переменная обращается в нуль, не является решением исходного уравнения в чем можно убедиться подстановкойделим обе части уравнения на решая котороенаходим: Осталось решить уравнения и Корнями этих уравнений являются числа Ответ: Пример 5. Область допустимых значений задается неравенством Преобразуем уравнение следующим образом: Один корень этого уравнения Для решения второго уравнения положим и решим Корни этого уравнения Последний корень не принадлежит указанному промежутку, поэтому, решая уравнениеполучим Ответ : Адрес: ул. Киевская, 24, Москва, Россия, 121165, ИД «Первое сентября», Оргкомитет фестиваля «Открытый урок».

Смотрите также:



Коментарии:

  • Обыкновенно из двух приближенных значений, из которых одно с недостатком, другое с избытком, берут значение с недостатком, если первая из отброшенных цифр менее 5, и значение с избытком, если эта цифра больше 5.